Aula 13a: Experimentos em faixas (Teoria, contas e análise no R)

Equipe de autores: Alcinei Mistico Azevedo; 

 Karla Sabrina Magalhães Andrade Padilha; 

Nermy Ribeiro Valadares;

Rafaela Pereira de Lima; 

Sabrina Maihave Barbosa Ramos.

Aula 13a. Experimentos em faixas (Teoria, contas e análise no R)

Considerado um caso particular do esquema fatorial, o esquema em faixas se assemelha muito ao esquema de parcelas subdivididas, permitindo análise de dois ou mais fatores e suas interações. Difere-se da parcela subdividida pelo fato de a casualização ocorrer em faixas dentro de cada bloco, ou seja, não há casualização dos níveis dentro de cada subparcela.

Esse esquema pode ser adotado quando há dificuldade técnica de aleatorizar as combinações entre os níveis dos dois fatores em parcelas, como por exemplo, casos em que se pretende estudar tipo de solo, preparo de solo, época de colheita, adubação, técnicas de irrigação, inseticidas, espaçamento etc. Nessas circunstâncias pode haver dificuldade de trabalhar com os níveis destes fatores em parcelas muito pequenas. Para elucidar a aplicabilidade desse esquema, vamos usar um exemplo de um experimento em esquema fatorial 3x4, sendo Fator A espaçamento e Fator B preparo do solo, chegando-se nos dados apresentados na tabela 1.

Para fazermos a análise de variância de um experimento em faixas temos como fonte de variação os Blocos, Fator A (espaçamento), Resíduo A, Fator B (preparo do solo), Resíduo B, interação (AxB) resíduo B e Total. Primeiramente, vamos estimar os graus de liberdade para cada fonte de variação. Para os blocos teremos dois graus de liberdade (3 blocos - 1), para o fator A dois graus de liberdade (3 níveis - 1) níveis, para o fator B três (4 níveis – 1). Como temos 36 parcelas (3x4x3), há 35 graus de liberdade para a fonte de variação “total”. Para a interação basta multiplicar o número de graus de liberdade do fator A pelo do Fator B, chegando-se a 6. Considerando que resíduo é resultado da interação entre os fatores (tratamentos) e blocos, temos para o Resíduo A quatro graus de liberdade (2 GLA x 2 GLbloco). Para o Resíduo B teremos 6 graus de liberdade (3 GLB x 2 GLbloco). E para o Resíduo C 12 graus de liberdade (6 GLAxB x 2 GLbloco).

 Para obter a soma de quadrados de blocos devemos considerar os totais dos blocos elevado ao quadrado. Somamos 12 observações para chegar em cada um desses totais, logo, o denominador dessa primeira parte da SQ é 12. A correção neste caso é o valor total obtido pela soma de todas as observações (3328) elevado ao quadrado dividido por 36 (número total de parcelas – 3x4x3).

Para facilitar os cálculos de SQ fator A, B, SQ tratamento e, consequentemente obter a SQ da interação, é recomendável organizar as somas de cada um dos tratamentos (3 repetições) em uma tabela de dupla entrada (Tabela 2). 

Para obter a soma de quadrados do fator A devemos considerar os totais do fator A elevado ao quadrado. Somamos 12 observações para chegar em cada um desses totais, logo, o denominador dessa primeira parte da SQ é 12. A correção é a mesma obtida anteriormente. 

Para obter a soma de quadrados do fator B, devemos considerar os totais do fator B elevado ao quadrado. Somamos 9 observações para chegar em cada um desses totais, logo, o denominador dessa primeira parte da SQ é 9. 

Para obter a soma de quadrados de tratamentos devemos considerar os totais do dos tratamentos (combinação dos níveis dos fatores) elevado ao quadrado. Somamos 3 observações para chegar em cada um desses totais, logo, o denominador dessa primeira parte da SQ é 3.

O valor da soma de quadrados da interação é obtido por meio da diferença da soma de quadrados dos tratamentos das somas de quadrados de cada fator. 

A soma de quadrados do Resíduo A é obtida pela interação dos blocos com fator A. Porém, para chegar ao valor devemos estimar a soma de quadrado do fator A nos blocos (SQ A.Bloco). Somamos todas as observações que receberam o nível 1 do fator A no bloco 1, nível 2 do fator A no bloco 1 e assim seguimos até o nível 3 do fator A do bloco 3. Com isso montamos uma tabela de dupla entrada que facilitará os cálculos.

Somamos 4 valores para chegar em cada um desses totais, logo, o denominador dessa primeira parte da SQ é 4. E a soma de quadrados do resíduo A pode ser obtida por diferença. 

Para a soma de quadrados o resíduo B, seguimos o mesmo raciocínio do resíduo A. Somamos as observações que receberam o nível 1 do fator B no bloco 1, nível 2 do fator B no bloco 1 e assim seguimos até o nível 4 do fator B no bloco 3. Com isso montamos outra tabela auxiliar que facilitará os cálculos (Tabela 4).

Somamos 3 valores para chegar em cada um desses totais, logo, o denominador dessa primeira parte da SQB.Bloco é 3. Posteriormente a soma de quadrados do resíduo B pode ser obtida por diferença. 

Para obter a soma de quadrado total devemos considerar os valores de cada observação elevado ao quadrado. Como cada valor é oriundo de uma observação o denominador dessa primeira parte da SQ é 1.

 Para a soma de quadrados do resíduo C, basta calcularmos a diferença:

Para estimar os valores de Fcal, utilizamos as seguintes fórmulas:

A partir desses valores é possível completar o quadro de análise de variância a seguir (Tabela 5)

Logo, podemos realizar os seguintes testes de hipóteses.

Fator A:

Ho: Não há diferença entre os níveis do fator A.

Ha: Pelo menos um nível do fator A se difere dos demais.

Conclusão: Como a estimativa de Fcalculado foi maior que o valor de Ftabelado, rejeita-se H0. Logo, pelo menos um nível do fator A se difere dos demais pelo teste F ao nível de 5% de significância.

Fator B:

Ho: Não há diferença entre os níveis do fator B.

Ha: Pelo menos um nível do fator B se difere dos demais.

Conclusão: Como a estimativa de Fcalculado foi maior que o valor de Ftabelado, rejeita-se H0. Logo, pelo menos um nível do fator B se difere dos demais pelo teste F ao nível de 5% de significância.

Interação entre os fatores:

Ho: Não há interação significativa entre os níveis do fator A e o fator B.

Ha: Há interação significativa entre os níveis do fator A e o fator B.

Conclusão: Como a estimativa de Fcalculado para o tratamento foi menor que o valor de Ftabelado, não se rejeita H0. Logo, não há interação significativa entre os fatores espaçamento e preparo do solo, pelo teste F ao nível de 5% de significância.

 Após realizar a análise de variância devemos tomar decisões mediante as significâncias encontradas. Como não houve interação significativa não precisa fazer o desdobramento. Logo, como há diferença entre os níveis do fator A, vamos comparar suas médias. Por meio do Teste de Tukey, classificamos as médias na tabela a seguir:

Como houve efeito significativo do fator B também deveremos comparar as médias dos níveis deste fator: 

Mas, e se a interação fosse significativa? Teríamos que prosseguir com os desdobramentos, comparando o fator A dentro dos níveis de B e, fator B nos níveis de A.

Para obter a soma de quadrados do fator A nos níveis do fator B, utilizamos a tabela de dupla entrada (Tabela 2) com os totais dos tratamentos (combinação dos níveis dos fatores) elevado ao quadrado. Somamos 3 observações para chegar em cada um desses totais, logo, o denominador dessa primeira parte da SQ é 3. A correção neste caso é o total das 3 observações para cada desdobramento (920; 937; 700 e 771) elevado ao quadrado dividido por 9 (3 observações para cada valor total, sendo 3 valores).

Para obter o valor do QM do resíduo combinado (a,b) aplicamos a seguinte fórmula, em que “b” é número de níveis do fator B, logo, substituímos por 4.

E para estimar o número de grau de liberdade associado ao QM do resíduo combinado utilizamos a fórmula proposta por Satterthwait (1946). Com isso, chegamos na tabela 8. 

A partir dessa tabela de análise de variância obtém-se valores de F calculado e havendo diferença significativa realiza-se os desdobramentos. Considerando o GL do resíduo combinado e para o DMS para o teste de médias o valor do QM do resíduo combinado. Como verificamos diferença significativa comparamos as médias pelo teste de Tukey a 5% de significância.

Para o desdobramento do fator B dentro dos níveis do fator A, também devemos obter o valor do resíduo combinado (b,c) e estimar o grau  de liberdade associado, por meio das seguintes fórmulas.

Para obter a soma de quadrados do fator B nos níveis do fator A, seguimos o mesmo raciocínio anterior, chegando à tabela 9.

Como verificamos, há diferença significativa pelo teste F. Logo, prosseguimos com o teste de Tukey para comparar as médias, chegando na tabela 9. 

1) Sobre experimentos em faixas diga:

    a)              Quando este esquema de avaliação deve ser utilizado.

b)  Vantagens e desvantagens.

c)  Similaridades e diferenças em relação ao esquema Fatorial e parcela subdividida.

2) Considere um experimento conduzido no esquema em faixas, no delineamento em blocos casualizados (DBC), obtendo-se os resultados a seguir: 

a)  Faça a análise de variância.     

b)  Calcule os coeficientes de variação residual.

c)  Cite as hipóteses nulas e alternativas considerada no teste F.

d)  Faça o teste de hipótese e redija suas conclusões.

e)  Compare as médias recorrendo-se aos testes Tukey

3)  Considere que um experimento foi conduzido em esquema em faixas no delineamento em blocos casualizados (DBC), obtendo-se os resultados a seguir:

a)      Escreva o modelo estatístico e especifique a que se refere cada parâmetro do modelo.

b)     Faça a análise de variância.

c)      Calcule os coeficientes de variação residual.

d)     Cite a hipótese nula e alternativa considerada no teste F.

e)      Faça o teste de hipótese e redija suas conclusões.

f)       Compare as médias recorrendo-se aos testes Tukey.