Aula 12a Experimentos em parcela subdividida(Teoria, contas e análise no R)

Equipe de autores: Alcinei Mistico Azevedo; 

 Karla Sabrina Magalhães Andrade Padilha; 

Nermy Ribeiro Valadares;

Rafaela Pereira de Lima; 

Sabrina Maihave Barbosa Ramos.

Aula 12a. Experimentos em parcela subdividida (Teoria, contas e análise no R)

O esquema de parcela subdividida é um caso particular do esquema fatorial em que dois ou mais fatores são estudados simultaneamente. Vale ressaltar que este esquema não é um delineamento, mas sim uma forma de compor a análise de variância corretamente, em função da forma como a qual os tratamentos são aleatorizados às unidades experimentais.

Neste esquema, os níveis do fator primário são aleatorizados nas parcelas. E as parcelas são subdivididas, dentro das quais são aleatorizados os níveis do fator secundário. Ou seja, são feitas duas casualizações, a primeira dos níveis do fator primário, e posteriormente dos níveis do fator secundário. Essa dupla casualização é uma das principais características que diferencia o esquema em parcelas subdivididas do esquema fatorial, trazendo algumas vantagens práticas para a instalação dos experimentos.

Diferente do esquema fatorial, em parcelas subdivididas temos dois erros, o erro A e o erro B. Sendo que para a obtenção dos graus de liberdade e soma de quadrados do erro A, podemos considerar na anova a fonte de variação “parcela”, conforme a tabela 1.

Tabela 1. Esquema da análise de variância para um experimento conduzido em DBC no esquema de parcelas subdivididas.

Considere como exemplo um experimento avaliando 4 sistemas de irrigação em três cultivares em um experimento conduzido no DBC com quatro repetições no esquema de parcelas subdivididas. Os dados fictícios são apresentados na tabela 2. Algo importante de lembrar antes de iniciar a análise estatística é que o fator mais difícil de trabalhar em unidades de área pequenas é a irrigação. Desta forma consideraremos este fator como o primário (alocado nas parcelas) e o fator cultivares como secundário (alocado nas subparcela).

Tabela 2.  Valores fictícios de um experimento conduzindo no esquema de parcelas subdivididas avaliando o efeito de quatro sistemas de irrigação e três variedades.

Para realizar a análise de variância, o primeiro passo é a obtenção dos graus de liberdade. O fator A possui 4 níveis, portanto seu grau de liberdade será 3. O experimento possui 3 blocos, então o grau de liberdade de Blocos será 2. Multiplicando o número de níveis do fator primário pela quantidade de blocos (4x3) é possível encontrar o número de parcelas que será 12 e, portanto, o seu grau de liberdade, 11. Subtraindo o GL da parcela pelo GL do fator A e do Bloco, obteremos o grau de liberdade do resíduo A (11-(3+2) = 6). O fator B possui 3 níveis então seu grau de liberdade é 2. A interação AxB é obtida multiplicando o GL desses dois fatores, portanto 3x2= 6. Como temos 36 unidades experimentais (12 tratamentos x 3 blocos), o grau de liberdade total é 35 e por diferença é possível obter por fim, o grau de liberdade do resíduo B (35-6-2-11=16).

Para obter a soma de quadrados é necessário fazer uma tabela de dupla entrada (Tabela 3) que irá alocar os totais de cada uma das parcelas. Soma-se primeiro os valores de todos os tratamentos que receberam o nível 1 do fator A no bloco 1 (66+68+68 = 202) e assim por diante até obter os totais de todas as parcelas. 

Dessa maneira, para chegar à soma de quadrados do fator A serão considerados os totais de A. Neste caso, o denominador da primeira parte da expressão, indica o número de observações que precisaremos somar para chegar em cada um dos totais dos níveis do fator A (3 bloco x 3 níveis do fator B). Já o denominador da segunda parte (correção) é no número de observações neste experimento (4x3x3).

Para determinar a soma de quadrados de Blocos será considerada a soma dos valores totais de cada um dos blocos. O denominador desta primeira parte é o número de valores somados para chegar em cada um destes totais de blocos (4 níveis do fator A x 3 níveis do fator B).

Considerando os valores no interior da tabela de dupla entrada temos os totais de cada parcela. A partir destes valores conseguimos estimar a SQparcela: 

A soma de quadrados do resíduo A pode ser obtido por diferença:

Para obter a soma de quadrados das outras fontes de variação é necessário fazer uma segunda tabela de dupla entrada, considerando os totais de tratamento, ou seja, todas as combinações dois a dois entre os níveis do fator A e B (tabela 4). 

A partir desta tabela é possível estimar a soma de quadrados do fator B. Para isso devemos considerar a soma de todas as unidades experimentais que receberam cada um dos níveis do fator cultivar. O denominador da primeira parte da expressão nada mais é do que o número de unidades somadas para chegar em cada um destes totais (4 irrigações x 3 blocos).

Para obter a soma de quadrados da interação (AxB) basta obter a soma de quadrados de tratamentos e subtrair pela soma dos quadrados de A e depois de B. Para obter a soma de quadrado de tratamentos, devemos considerar o total de tratamentos (interior da tabela 4). E, o denominador da primeira parte da expressão é o número de observações somadas para chegar em cada um destes totais (3). 

A partir da SQ de tratamentos é possível obter a soma de quadrados da interação por diferença:

Para chegar na soma de quadrados total é necessário considerar todas as observações presentes na tabela 2. Neste caso, o denominador da primeira parte será 1, pois cada valor considerado vem de uma única observação. 

Por fim, para encontrar a soma de quadrados do resíduo B, é feita a seguinte subtração:

Para obter os quadrados médios de cada uma das fontes de variação basta dividir cada soma de quadrados pelos seus respectivos graus de liberdade. E para estimar os valores de Fcal deve-se considerar como denominador os quadrados médios do resíduo apropriados, chegando-se nas seguintes fórmulas: 

Os valores de F tabelado serão encontrados ao observar na tabela do teste F, ao nível de 5% de significância. Dessa forma é possível completar a tabela de análise de variância (tabela 5). 

Quando trabalhamos com experimentos em parcelas subdivididas temos um coeficiente de variação associados às parcelas (CVa) e outro associado às subparcelas (CVb). 

A partir da análise de variância podemos realizar os seguintes testes de hipóteses.

Fator A

Ho: Não há influência das irrigações em relação a produtividade

Ha: A irrigação influência na produtividade.

Conclusão: Como a estimativa do Fcalculado foi maior que o valor de Ftabelado, então rejeita-se Ho e admite-se há influência da irrigação sob a produtividade.

Blocos:

Ho: Não há diferença entre os blocos.

Ha: Há diferença entre os blocos.

Conclusão: Como a estimativa de Fcalculado foi maior que Ftabelado, então rejeita-se Ho e admite-se que há diferença entre os blocos.

Fator B:

Ho: Não há diferença entre as cultivares quanto a produtividade.

Ha: Pelo menos uma cultivar se difere das demais em relação à produtividade.

Conclusão: Como a estimativa de Fcalculado foi maior que Ftabelado, então rejeita-se Ho e admite-se que há diferença entre as cultivares.

Interação entre os fatores:

Ho: Não há interação entre as cultivares e as irrigações para a produtividade.

Ha: há interação entre as cultivares e as irrigações para a produtividade.

Conclusão: Como a estimativa de Fcalculado foi maior que Ftabelado, então rejeita-se Ho e admite-se que a interação é significativa.

           Se o experimento fosse no DIC a maioria dos cálculos permaneceriam o mesmo. A única diferença é que não haveria a fonte de variação blocos. Neste caso, a análise de variância ficaria conforme a tabela 6.

A interação foi significativa, nesta situação devemos fazer o desdobramento de médias. Porém, apenas a título de exemplo, vamos ver como ficaria o teste de médias entre os efeitos principais dos fatores. Neste caso poderíamos estimar o DMS do teste Tukey da seguinte forma:

Note que no denominador temos o número de observações que precisamos considerar para chegar na média de cada um nos níveis, neste caso foram 9 (3 níveis do fator B x 3 repetições). A partir do DMS estimado chegamos na tabela a seguir (tabela 7).

Para comparar as médias do fator B no denominador teríamos o número 12, correspondente ao número de observações que deveríamos somar para chegar a cada uma das médias (4 níveis do fator A x 3 repetições). A partir do DMS estimado é possível chegar na tabela 18.

Considerando a existência de interação significativa, devemos seguir então com os desdobramentos, comparando o fator A dentro dos níveis de B e o fator B dentro dos níveis de A. Para isso, precisamos inicialmente estimar as médias de cada uma das combinações entre os níveis do fator A e B, chegando-se na tabela 9.

Inicialmente, vamos começar fazendo o desdobramento do fator B dentro de A. Neste caso, as fontes de variação para análise de variância do desdobramento serão B/A1, B/A2, B/A3, B/A4 e Resíduo B. Dessa forma, calculamos primeiro o número de grau de liberdade. Para B/A1 estão sendo comparados 3 valores, portanto o grau de liberdade será 2, da mesma forma acontece com B/A2, B/A3 e B/A4. O grau de liberdade do resíduo B, conforme a tabela 5 é 16.

A soma de quadrados é realizada considerando a tabela de dupla entrada com totais de tratamento (tabela 4). Para chegar na soma de quadrados de B/A1 considera-se os totais dos níveis 1 do fator B dentro do nível A. Neste caso, o denominador da primeira parte será o número de repetições (3). Já a correção, será o valor total dos níveis do fator B dentro do nível A1. Logo, o denominador será 9 (3 níveis do fator B x 3 repetições). 

Da mesma forma é realizada a soma dos quadrados para as fontes de variação B/A2, B/A3 e B/A4.

A soma de quadrados do resíduo B conforme tabela 4 é 289.8. Para estimar os valores dos quadrados médios é necessário dividir cada uma das somas dos quadrados por seus respectivos graus de liberdade. Já os valores de Fcalculado são definidos pela divisão dos quadrados médios dos desdobramentos pelo quadrado médio do resíduo B. Para Ftabelado, observamos na tabela do teste F os valores de 2 na coluna e 16 na linha obtendo 3.63 para o Ftab dos desdobramentos. A análise de variância é apresentada na tabela 10.

Ao observarmos a tabela 8 percebemos que o F calculado do desdobramento de B dentro de A1 é menor que o F tabelado e portando concluímos que não há diferença significativa entre as médias, então, para esse desdobramento, não será necessário realizar teste de comparação múltipla.

Dessa forma, estimamos o DMS do teste Tukey e comparamos com as médias, ordenando conforme a tabela 11.

Calculando agora o desdobramento de A dentro de B é necessário levar em consideração tanto o resíduo A como o resíduo B. Para isso, calculamos o quadrado médio do resíduo combinado. 

A partir do quadrado médio do resíduo médio é necessário encontrar um grau de liberdade associado a essa nova variância através da fórmula de Satterthwaite. 

Logo após é possível realizar uma nova análise de variância para o desdobramento de B dentro de A. Para essa anova as fontes de variação serão A/B1, A/B2, A/B3 e resíduo médio. Levando em consideração a tabela 3 com os totais de tratamento podemos estimar os graus de liberdade dos desdobramentos que será 3.  O grau de liberdade do resíduo médio foi encontrado através da fórmula de Satterthwaite e seu valor é 20.3.

 Para estimar a soma de quadrado de cada um dos desdobramentos levamos em consideração a soma de cada uma das linhas da tabela 12. 

Todos os desdobramentos apresentaram o valor de F calculado maior que o valor de Ftabelado e, portanto, podemos concluir que houve significância entre as médias para todos os desdobramentos e então é necessário fazer teste de comparação múltiplas para comparar cada um deles. Estimando o valor de DMS do teste Tukey e comparamos com as médias, chegamos à tabela 13. 

1)  Sobre parcelas subdivididas diga:

a)  Quando este esquema de avaliação deve ser utilizado.

b) Vantagens e desvantagens.

c)  Similaridades e diferenças em relação ao esquema Fatorial.

2)  Considere que um experimento foi conduzido em parcelas subdivididas (Fator A na parcela e fator B na subparcela) no delineamento inteiramente casualizado (DIC), obtendo-se os resultados a seguir:

a)  Escreva o modelo estatístico e especifique a que se refere cada parâmetro do modelo.

b) Faça a análise de variância.     

c)  Calcule os coeficientes de variação residual.

d) Cite a hipótese nula e alternativa considerada no teste F.

e)  Faça o teste de hipótese e redija suas conclusões.

f)   Compare as médias recorrendo-se aos testes Tukey.

3)  Considere que um experimento foi conduzido em parcelas subdivididas (Fator A na parcela e fator B na subparcela) no delineamento em blocos casualizados (DBC), obtendo-se os resultados a seguir:

a)  Escreva o modelo estatístico e especifique a que se refere cada parâmetro do modelo.

b) Faça a análise de variância.     

c)  Calcule os coeficientes de variação residual.

d) Cite a hipótese nula e alternativa considerada no teste F.

e)  Faça o teste de hipótese e redija suas conclusões.

f)   Compare as médias recorrendo-se aos testes Tukey.

4)  Considere que em uma pesquisa foram avaliadas 6 variedades de alface quanto a sua vida de prateleira. O objetivo foi avaliar a qualidade destas alfaces diariamente por 8 dias. Neste experimento foram utilizadas 8 repetições no delineamento inteiramente casualizado. O pesquisador deste trabalho fez a análise dos dados considerando parcelas subdivididas no tempo. Ou seja, considerou 6 variedades alocadas na parcela e 8 níveis alocados nas subparcelas. A partir destas informações, responda:

a)      Qual o número de graus de liberdade do resíduo A?

b)     Qual será o número de graus de liberdade do resíduo B?

c)      Se o experimento fosse avaliado em DBC qual seria o número de graus de liberdade do resíduo A?

d)     Se o experimento fosse analisado em DBC qual seria o número de graus de liberdade do resíduo B?

5)  Considere que um experimento tenha sido conduzido em parcela subdividida, chegando-se nos resultados a seguir:

a)      Qual é o valor de F calculado para o Fator A?

b)     Qual o valor de F calculado para o fator B?

c)      Qual o valor de F calculado para a interação AxB?

d)     Qual é o valor de F tabelado ao nível de 5% de significância para se testar o efeito do Fator A?

e)      Suponhamos que a interação tenha sido não significativa e formos comparar as médias do fator A, qual será o DMS para  o teste Tukey a nível de 5% de significância?

f)       Suponhamos que a interação tenha sido não significativa e formos comparar as médias do fator B, qual será o DMS para  o teste Tukey a nível de 5% de significância?

g)      Para fazer o desdobramento do fator A dentro do fator B deve-se inicialmente estimar o número de graus de liberdade do resíduo médio, também chamado de graus de liberdade combinado. Qual é sua estimativa?

h)     Para fazer o desdobramento do fator A dentro do fator B deve-se estimar o quadrado médio do resíduo médio, também chamado de quadrado médio combinado. Qual é sua estimativa?

i)       Suponhamos que a interação tenha sido significativa e formos fazer o desdobramento de B dentro de A, qual será o DMS para o teste Tukey ao nível de 5% de significância?