Aula 11d:Experimento em esquema fatorial duplo com uma testemunha adicional

Equipe de autores: Alcinei Mistico Azevedo; 

 Karla Sabrina Magalhães Andrade Padilha; 

Nermy Ribeiro Valadares;

Rafaela Pereira de Lima; 

Sabrina Maihave Barbosa Ramos.

Aula 11d: Experimento em esquema fatorial duplo com uma testemunha adicional 

Vamos considerar como exemplo um experimento em esquema fatorial 3x3+1, chegando-se nos dados apresentados na tabela 1. 

Os dados acima nos permitem realizar a análise de variância, a começar pelos graus de liberdade associados à cada fonte de variação.  Começamos pelas fontes de variação que já sabemos. Por se tratar   de um delineamento inteiramente casualizado, logo teremos tratamentos, total e resíduo. Como há 10 tratamentos (3x3+1), GL de tratamentos =9. Sendo 10 tratamentos e 3 repetições, temos 30 parcelas (10x3), logo, o GL total é 29. Pela diferença entre o total e o GL de tratamentos temos GL do resíduo (20). Podemos decompor os “Tratamentos” nas fontes de variação “tratamentos fatoriais” e “fatoriais vs testemunha”. Essa fonte de variação então terá GL= 8, pois há 9 tratamentos fatoriais (3x3). O fator A e o fator B possuem 3 níveis, logo GL=2, a interação resulta da multiplicação dos graus de liberdade dos fatores, logo (2x2) GL=4. Por fim, o contraste da testemunha com os tratamentos fatoriais terá GL=1, pois se trata da comparação de médias entre dois grupos de tratamentos (2-1).

Para obter a soma de quadrados de tratamentos devemos considerar os totais dos tratamentos (combinações dos níveis dos fatores) elevado ao quadrado. Somamos 3 observações para chegar em cada um desses totais, logo, o denominador dessa primeira parte da SQ é 3. A correção neste caso é o valor total obtido pela soma de todas as observações (344) elevado ao quadrado dividido por 30 (número total de parcelas: 3x3+1).

Para obter a soma de quadrado total devemos considerar os valores de cada observação elevado ao quadrado. Como cada valor é oriundo de uma observação o denominador dessa primeira parte da SQ é 1.  A correção é a mesma obtida anteriormente. Já o resíduo pode ser obtido por diferença, como descrito a seguir.

Para obter a soma de quadrados de fatoriais devemos considerar apenas os valores dos tratamentos fatoriais (excluindo-se o valor da testemunha), elevado ao quadrado. Somamos 3 observações para chegar em cada um desses totais, logo, o denominador dessa primeira parte da SQ é 3. A correção neste caso é o valor total obtido pela soma de todas as observações dos tratamentos fatoriais (334) elevado ao quadrado dividido por 27 parcelas (observações somadas para obter o total utilizado).

Para a soma de quadrados do contraste, somamos os valores dos totais dos tratamentos fatoriais e da testemunha, com seus respectivos denominadores já apresentados.

               Agora, para facilitar os cálculos da soma de quadrados de A, B e consequentemente obter a interação, reorganizaremos os dados uma tabela de dupla entrada, como a seguir (Tabela 2).

Posteriormente, podemos realizar os seguintes testes de hipóteses.

Fator A:

Ho: Não há diferença entre os níveis do fator A.

Ha: Pelo menos um nível do fator A se difere dos demais.

Conclusão: Como a estimativa de Fcalculado foi maior que o valor de Ftabelado, rejeita-se H0. Logo, pelo menos um nível do fator A se difere dos demais pelo teste F ao nível de 5% de significância.

Fator B:

Ho: Não há diferença entre os níveis do fator B.

Ha: Pelo menos um nível do fator B se difere dos demais.

Conclusão: Como a estimativa de Fcalculado foi maior que o valor de Ftabelado, rejeita-se H0. Logo, pelo menos um nível do fator B se difere dos demais pelo teste F ao nível de 5% de significância.

Interação entre os fatores:

Ho: Não há interação significativa entre os níveis do fator A e o fator B.

Ha: Há interação significativa entre os níveis do fator A e o fator B.

Conclusão: Como a estimativa de Fcalculado para o tratamento foi maior que o valor de Ftabelado, rejeita-se H0. Logo, há interação significativa entre os fatores espaçamento e herbicidas, pelo teste F ao nível de 5% de significância.

Contraste entre tratamentos fatoriais e testemunha

Ho: Não há diferença entre a média do tratamento testemunha e a média dos tratamentos fatoriais

Ha: Há diferença entre a média do tratamento testemunha e a média dos tratamentos fatoriais

Conclusão: como Fcalculado Test vs Fat> Ftabelado, rejeita-se Ho. Ou seja, há diferença entre a média do tratamento testemunha e a média dos tratamentos fatoriais.

Agora que verificamos as significâncias, por meio do teste F, devemos realizar os desdobramentos dos fatores, comparando o fator A dentro dos níveis de B e, fator B nos níveis de A. Para isso, precisamos realizar análise de variância (Tabela 4) para os desdobramentos, chegando-se nos seguintes valores:

Desta forma, pode-se realizar o teste Tukey para comparar as médias de cada fonte Espaçamento para cada um do herbicida utilizado considerando o seguinte DMS:

Também precisamos fazer a Anova para o desdobramento do fator B dentro dos níveis de A, chegando-se na tabela 5 por meio dos seguintes cálculos:

Após a ANOVA, verificamos pelas significâncias a necessidade de fazer os testes de comparações múltiplas, o qual pode ser obtido pelo DMS a seguir:

Por fim, precisamos comparar os tratamentos fatoriais com a testemunha, o que pode ser feito pelo teste de Dunnet, com o qual verificamos se há diferença entre as médias de tratamentos fatoriais (comuns) e a testemunha. Para o teste Dunnet utilizamos as operações a seguir:

A partir destes testes, podemos juntar todos os resultados, chegando-se na tabela 6.

1) Considere que um experimento foi conduzido em esquema fatorial no delineamento inteiramente casualizado (DIC), obtendo-se os resultados a seguir:

Considere que além dos tratamentos do exemplo anterior tenha sido avaliada duas testemunhas cujos resultados de cada repetição tenha sido R1=20, R2=18, R3=19 para o primeiro tratamento testemunha (Testemunha A) e R1=12, R2=12.5, R3=12.7 para a segunda testemunha (Testemunha B).

     a)  Faça a análise de variância para esse experimento.

 b) Compare os tratamentos comuns pelo teste Tukey

 c)  Compare a testemunha com os demais tratamentos pelo teste Dunnet.

2)  Considere outro exemplo experimental, neste caso conduzido em esquema fatorial no delineamento em blocos casualizados (DBC), obtendo-se os resultados a seguir:

Considere que além dos tratamentos do exemplo anterior tenha sido avaliada uma testemunha cujos resultados de cada repetição tenha sido (R1=12, R2=18, R3=14).

a)  Faça a análise de variância para esse experimento.

b) Compare os tratamentos comuns pelo teste Tukey

c)  Compare os tratamentos comuns com a testemunha pelo teste Dunnet.

3)  Uma pesquisa foi conduzida com objetivo de avaliar o efeito de 5 diferentes alimentações com 6 diferentes adoçantes na diabete de ratos. Considere que o experimento foi conduzido no delineamento inteiramente casualizado  com 5 repetições, sendo cada parcela constituída de um único animal. Considerando as diferentes alimentações como sendo o fator A e diferentes adoçantes como sendo fator B, diga:

a)  Qual o número de graus de liberdade para a fonte de variação interação?

b) Qual o grau de liberdade do resíduo?

c)  Qual o número total de animais utilizado no experimento?

d) Se o experimento fosse em DBC, qual seria o número de graus de liberdade do resíduo?

e)  No caso de o experimento ser conduzido em DBC, e que além dos tratamentos fatoriais haja mais uma testemunha adicional. Neste caso, qual será o número de graus de liberdade do resíduo?

f)   No caso de o experimento ter sido conduzido em DBC, e que além dos tratamentos fatoriais haja mais duas testemunhas adicionais. Neste caso, qual será o número de graus de liberdade do resíduo?