Aula 11c: Esquema fatorial com interação.
Aula 11c: Esquema fatorial com interação (ANOVA, desdobramento de médias e análise no R)
O objetivo dessa aula é abordar na prática a Análise de variância, o desdobramento de médias e fornecer o roteiro do R para casos em que o esquema fatorial possui interação significativa entre os fatores.
Considere os dados abaixo (tabela 1) de um experimento em esquema fatorial 3x4 conduzido em delineamento experimental em blocos casualizados. Sendo o Fator A constituído por 3 diferentes cultivares de feijão e o Fator B, 4 diferentes manejos de adubação empregados, totalizando 12 tratamentos.
Tabela 1: Dados simulados de um experimento avaliando a produtividade de 3 cultivares sob quatro diferentes adubações.
Inicialmente, deve-se obter a análise de variância do DBC (Tabela 2.) como já abordado em aulas anteriores.
omo dito anteriormente, é preciso decompor os graus de liberdade e SQ da fonte de variação “Tratamento” nas fontes de variação “Fator A”, “Fator B” e “AxB”. Como o fator A tem 3 níveis (3-1) o número de graus de liberdade será 2. Já o fator B com 4 níveis terá graus de liberdade igual a 3 (4-1). Já para a interação é obtida por diferença (GLAxB=GLTratamento-GLA-GLB = 6). Já para obter as somas de quadrado, para facilitar, podemos organizar os totais de tratamentos em uma tabela de dupla entrada, chegando-se na tabela 3.
Para obter a soma de quadrados do fator A devemos considerar os totais do fator A elevado ao quadrado. Somamos 12 observações para chegar em cada um desses totais, logo, o denominador dessa primeira parte da SQ é 12. Já o valor total, considerado na correção vieram da soma de 36 parcelas.
Faremos o mesmo para o fator B. Somamos os quadrados dos totais dos níveis do fator A oriundos de 9 observações e subtraímos a correção.
A SQ da interação é obtida por diferença entre a SQ de tratamentos e as SQs dos fatores.
Assim, conseguimos chegar na análise de variância apresentada na tabela 4.
Após realizar a análise de variância, podemos concluir sobre as hipóteses.
Fator A:
Ho: Não há diferença entre as médias das cultivares em relação a produtividade do feijoeiro.
Ha: Pelo menos uma cultivar tem média diferente das demais em relação a produtividade.
Conclusão: Como a estimativa de Fcalculado foi maior que o valor de Ftabelado, rejeita-se H0. Logo, pelo menos um nível do fator A se difere dos demais pelo teste F ao nível de 5% de significância.
Fator B:
Ho: Não há diferença entre os manejos em relação a produtividade do feijoeiro.
Ha: O manejo influência na produtividade do feijoeiro.
Conclusão: Como a estimativa de Fcalculado foi maior que o valor de Ftabelado, rejeita-se H0. Logo, pelo menos um nível do fator B se difere dos demais pelo teste F ao nível de 5% de significância.
Interação (Cultivares e manejos)
Ho: Não há interação entre as cultivares e os manejos para produtividade do feijoeiro.
Ha: há interação entre as cultivares e os manejos para a produtividade do feijoeiro.
Conclusão: Como a estimativa de Fcalculado para a interação foi maior que o valor de Ftabelado, rejeita-se H0. Logo, há interação significativa entre os fatores cultivar e manejo, pelo teste F ao nível de 5% de significância.
Como verificamos que a interação foi significativa, iremos prosseguir com os desdobramentos, comparando o fator A dentro dos níveis de B e, fator B nos níveis de A. Para realizar a Anova para o desdobramento de A dentro de B, iniciamos estimando os graus de liberdade. Como temos 3 níveis no fator A, o número de graus de liberdade para cada desdobramento de A dentro de B será 2 (3-1). Para obter a soma de quadrados do fator A nos níveis do fator B, recorremos a tabela com os totais dos tratamentos e somamos os quadrados dos valores de A nos níveis 1, 2, 3 e 4 de B (nas colunas). Somamos 3 observações para chegar em cada um desses totais, logo, o denominador dessa primeira parte da SQ é 3. A correção neste caso é o total das 3 observações para cada desdobramento (621; 801; 708 e 637) elevado ao quadrado dividido por 9 (3 observações para cada valor total, sendo 3 valores). Assim, obtemos então a análise de variância apresentada na tabela 5.
Verifica-se que apenas no nível 1 do fator B não houve diferença entre os níveis de A. Com isso, na tabela das médias dos tratamentos as médias de A/B1 recebem mesma letra. Como os demais desdobramentos foram significativos, prosseguimos com as comparações das médias por meio do teste de Tukey, obtendo-se a tabela 6.
Agora, faremos da mesma forma para o desdobramento de B dentro dos níveis de A. Para obter a soma de quadrados do fator A nos níveis do fator B, recorremos a tabela com os totais dos tratamentos (combinação dos níveis dos fatores) e somamos os quadrados dos valores de B nos níveis 1, 2, 3 de A (nas linhas). Somamos 3 observações para chegar em cada um desses totais, logo, o denominador dessa primeira parte da SQ é 3. A correção neste caso é o total das 4 observações para cada desdobramento (807; 992; e 968) elevado ao quadrado e dividido por 12. Assim, chegamos na tabela 7.
Comparando-se os valores de F calculado com o F tabelado verifica-se diferença do fator B dentro de todos os níveis de A. Logo, devemos comparar as médias por meio do teste de Tukey, chegando na tabela 8.
Roteiro do R
# 1° Apagar a memória:
remove (list=ls())
# 2° Indicar a pasta que contém os dados a serem utilizados:
# setwd ("nome da pasta com o conjunto de dados")
# 3° Criar um objeto para análise estatística:
D=read.table("”,head=TRUE)
# 4° Ativar o pacote:
library(easyanova)
# 5° Abrir manual do pacote:
?ea2
# 6° Executar o pacote:
ea2(D,desing = 2)